Alla mia bellissima e simpaticissima nipotina Giulietta
Tanto tanto tempo fa, sul finire del 1700, in una scuola elementare tedesca del terzo anno, il maestro diede un compito punitivo ai suoi alunni irrequieti, anche per tenerli impegnati per qualche ora e rifiatare egli stesso.
Chiese ai bambini di effettuare la somma di tutti i numeri interi da 1 a 100, prestando molta attenzione al calcolo che richiedeva una grande pazienza, ma anche una certa rapidità mentale: fino a quando uno di loro non gli avesse portato la soluzione esatta, non voleva sentire volare una mosca!
Assegnato il compito, guardò compiaciuto i bimbi che cominciarono a fare calcoli sui loro quadernetti, intingendo periodicamente la penna nell’inchiostro del calamaio, convinto che si sarebbe potuto rilassare per qualche ora nel più assoluto silenzio.
Purtroppo per lui, ma fortunatamente per l’umanità, dopo qualche minuto uno dei bimbi alzò la mano e con molta educazione chiese al maestro se poteva portargli il quaderno perché aveva completato il compito.
Assai perplesso, il maestro invitò l’alunno alla cattedra, già prevedendo quali orrori avrebbe dovuto correggere.
Inforcati gli occhiali, cominciò a esaminare i calcoli effettuati dal bimbo, rivolgendogli ogni tanto qualche occhiata furtiva e sbalordita perché il risultato era esatto: la somma dei primi numeri interi da 1 a 100 era pari a 5.050.
Come aveva fatto il bimbo a trovare la soluzione esatta in così poco tempo?
Aveva scritto la somma dei numeri (oggi diremmo della successione aritmetica di interi di ragione 1 e di estremi 1 e 100) in questo modo:
1 + 2 + 3 + ...+ 48 + 49 + 50 + 51 +52 +53 + ...+ 98 + 99+ 100
Aveva notato l’esistenza di una simmetria tra la prima e la seconda cinquantina, tracciandone l’asse:
Aveva quindi osservato che la somma delle coppie di numeri simmetrici rispetto a tale asse dava sempre lo stesso valore, ossia 101:
1 + 100 = 101
2 + 99 = 101
3 + 98 = 101
...
48 + 53 = 101
49 + 52 = 101
50 + 51 = 101
Pertanto, la somma dei numeri interi da 1 a 100 era uguale alla somma delle cinquanta coppie di numeri simmetrici di valore 101:
1 + 2 + 3 + ...+ 48 + 49 + 50 + 51 +52 +53 + ...+ 98 + 99+ 100 = 50 x 101
che può essere riscritta in modo più semplice
50 x 101 = 50 x (100 + 1)
e applicando la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma
50 x (100 + 1) = (50 x 100) + (50 x 1)
Ora è facile calcolare che
50 x 100 = 5.000 (basta moltiplicare 5 x 1 e poi sommare gli zeri 000 da scrivere dopo il 5)
50 x 1 = 50
Quindi, si può scrivere:
1 + 2 + 3 + ...+ 48 + 49 + 50 + 51 +52 +53 + ...+ 98 + 99+ 100 = 5.000 + 50 = 5.050
Sopra ho scritto “Purtroppo per lui, ma fortunatamente per l’umanità [...]”:
- purtroppo per lui perché dopo pochi minuti uno degli alunni aveva trovato la soluzione, liberando dall’ingrato compito i bimbi che avrebbero ripreso a fare chiasso;
- fortunatamente per l’umanità perché il bimbo che aveva risolto il problema così brillantemente in poco tempo si chiamava Carl Friedrich Gauss e sarebbe diventato uno dei più grandi matematici di tutti i tempi, verso il quale la nostra civiltà ha un debito enorme.
Molti si chiederanno perché ho voluto raccontare in forma di favola un aneddoto che riguarda l’infanzia del grande matematico e che cosa essa c’entri con un blog che si occupa solitamente, sia pure in modo non professionale, di Diritto, sconfinando talvolta in altri settori quali la Politica, l’Economia, l’Urbanistica.
C’entra perché, guardando in TV i candidati alle prossime elezioni parlamentari e ascoltando le loro elucubrazioni sui massimi sistemi della politica, mi piacerebbe sottoporli a un test molto più semplice come quello di sommare i numeri interi da 1 a 10 e vedere quanti di loro sono capaci di superarlo.
